정의에 관하여

여기서 정의라 함은 justice가 아니라 definition을 말하는 것이다.

군(group)의 정의를 쓰라는 문제에 대한 학생들의 답안은 대체로 아래와 같은 수준이다.

• 군이란 associative 하고 identity와 inverse가 있는 것이다.

혹은 이보다 조금 더 못한 것으로

• associative, identity, inverse.

같은 답안도 흔히 보인다.

만일 위의 "정의"가 군에 대해서 잘 알고 있는 두 사람이, 가령 lattice와 군을 비교하여 논하고자 할 때 오간 대화라면 이것은 전혀 문제가 없다. 하지만 추상대수학의 첫 입문 과목을 수강하는 학생의 답안으로는 정확히 0점이다.

우선 위의 정의는 identity나 inverse가 무엇인지 전혀 말하고 있지 않다. 그보다 더 중요한 것은 여기서 associative한 것은 (군 자신이 아니라) 군의 2항연산이고, identity는 군의 하나의 원소이며, inverse는 군의 각 원소에 대응해서 존재하는 군의 원소이라는 사실이 모두 빠졌다는 것이다.

이 외에도 수없이 많은 오류를 지적할 수 있으나 이만 생략하고 아래에, 잘 알려진 추상대수학 교재 A First Course in Abstract Algebra, 6th edition (J. Fraleigh)의 한 연습문제를 보자.

The following "definition" of a group are taken verbatim, including spelling and punctuation, from papers of students who wrote a bit too quickly and carelessly. Criticize them.

1. A group G is a set of elements together with a binary operation * such that the following conditions are satisfied
   • * is associative
   • There exists e in G such that e * x = x * e = x = identity.
   • For every a in G there exists an a' (inverse) such that aㆍa' = a'ㆍa = e.
2. A group is a set G such that
   • The operation on G is associative.
   • there is an identity element (e) in G.
   • for every a in G, there exists an a' (inverse for each element)
3. A group is a set with a binary operation such
   • the binary operation is defined
   • an inverse exists
   • an identity element exists
4. A set G is called a group over the binery operation * such that for all a,b in G
   • Binary operation * is associative under addition
   • there exists an element {e} such that a * e = e * a = e
   • Fore every element a there exists an element a' such that a * a' = a' * a = e

위의 문제를 정성을 들여 풀어 보길 바란다.

정의를 묻는 문제에 답할 때 책에 나온 정의를 토씨 하나 안 틀리고 암기해서 쓰는 것은 어렵기도 하거니와 바람직하지 않다. 개념을 충분히 소화, 암기한 후에 자기만의 언어로 서술하는 능력이 필요하다.