발표 내용을 숙지하지 못하여 화면에 글씨를 가득 띄워 놓고 읽는 형태의 발표를 절대 피해야 한다. 발표를 듣는 것이 화면만을 읽는 것보다 내용의 이해에 많이 도움되는, 그러한 발표가 되어야 한다. 판서한 것을 설명할 때도 이 원칙이 적용된다.
발표 자료 화면의 글씨는 충분히 커야 한다. 한 화면에 7줄 정도가 적당하며 12줄을 초과하는 것은 특수한 경우에 한하여 허용한다.
청중이 읽기에 힘든 작은 글씨, 또는 그림에 대해서는 반드시 "이 부분은 잘 보이지 않을 것인데..." 등으로 시작하여 뭔가 언급을 해야 한다.
지오지브라 등의 소프트웨어로 그린 그림에서 글씨의 크기는 컴퓨터 화면을 보는 사람에게 최적화 되어 있다. 강의실에서 발표자료로 쓸 때는 글씨의 크기를 디폴트 크기보다 크게 해야 한다.
글씨뿐만 아니라 그림에서도 색깔을 적극 활용한다. 색깔의 효과는 글씨보다도 그림에서 더 크다. GeoGebra에서 그림에 색깔을 넣는 것은 아주 쉽다. 그러나 색깔을 넣은 그림이나 글씨는 컴퓨터 화면에서는 예쁘게 잘 보이던 것이 발표장의 화면에서는 잘 안 보이는 경우가 흔히 있으니 유의해야 한다.
질문을 받았을 때 답변 없이, 그저 처분만 기다린다는 듯이 가만히 서 있는 것은 대단히 좋지 않다.
질문이나 지적을 받았을 때 자신의 발표 내용의 일부만 정정하면 될 것을 방어적인 자세로 답변하는 것은 더욱 더 좋지 않다. 심지어 아무런 답변 없이 그냥 지나가는 경우도 있다. 이런 것들은 큰 감점 대상이다. 발표의 잘못을 인정할 때 "죄송합니다"라고 하는 대신 "알겠습니다", 혹은 "그렇군요"하고 한다.
질문이 Yes/No question일 때는 답변에 yes/no 중 어느 것인지가 분명히 드러나야 한다. 혹은 yes/no로 답변하기 곤란한 이유를 설명해야 한다. 질문이 "A or B ?" 형태일 경우에도 같은 원칙이 적용된다.
발표하는 태도는 자신감 있되 겸손해야 한다.
발표자료의 표현이나 내용에 오류, 혹은 불명확한 부분이 있음을 지적 받았을 때 "원래 책에 그렇게 되어 있다."고 답하는 것은 대단히 나쁘다. "책에 그렇게 되어 있어 생각없이 그대로 사용했는데 이제 보니 개선이 필요하군요." 등으로 답해야 한다.
발표화면 한 페이지에 들어가는 내용은 일반적으로 책 한 페이지에 들어가는 내용보다 적다. 따라서 한 화면에서 식 1, 식 2, 그림 1 등을 언급하는데 실제 그 식이나 그림은 다른 화면에 있는 경우가 흔히 발생하며 이는 될 수 있는 한, 아니 거의 절대로 피해야 한다. 또한 책에서는 독자가 식이나 그림이 그 페이지에 없으면 페이지를 넘겨서 볼 수 있지만, 발표할 때는 청중이 발표자에게 화면을 넘겨달라고 요청하기가 쉽지 않다는 차이도 있다.
칠판, 혹은 화면에 있는 수식의 일부를 ‘이것’이라고 가리킬 때 천천히, 명확하게 한다. 발표자가 후딱 지나가면 청중은 잘 이해하지 못한다. 심지어 화면을 가리키지도 않으며 "이 식에 의하여...", 혹은 "다음 식에 의하여 ..."라고 하는 발표자도 있다.
화면은 모든 세부사항을 다 포함할 필요는 없지만, 독자가 눈으로 읽으며 암산으로 이해할 수 있을 정도는 되어야 한다. 발표 시에 피강연자가 답안에 포함된 계산의 세부사항을 요구할 경우 알기 쉽게 설명해 주어야 한다.
시간 관계상 자세한 설명은 생략하지만 누구든 차분히 따져 보면 알 수 있는 계산, 또는 식을 설명할 때는 이 사실을(충분한 설명 없이 생략하고 넘어간다는 사실) 명확히 말한다. 이렇게 하지 않으면 청중은 자신의 계산이 너무 느린 것이 아닌가 걱정하게 된다.
수식을 소리내어 읽을 때 지루하지 않도록 적절히 생략한다. 수식을 제대로 읽지 못하고 우물쭈물 하지 않도록 충분히 준비한다.
정확한 표현을 사용한다. 수학을 발표할 때는 일상 생활의 대화에서보다 더 정확한 표현을 써야 할 것이나 실제로는 반대로 일상 대화에서 사용하는 것 보다 더 부정확한 표현을 쓰는 경우가 대단히 많다. 버벅이며 국문법에 틀리게 말하는 경우도 허다하다. 그리고 수식에서 예를 들어 보면 \(3\int \sin x _~ dx\)를 "3 곱하기 인테그랄 싸인 엑스 디엑스" 혹은 "3 인테그랄 싸인 엑스 디엑스"로 읽어야 할 것이나 이를 "3에 인테그랄 싸인 엑스 디엑스"라고 잘못 읽는 경우가 많다. 기하에서의 예로 "점 A와 B를 잇는 선분", 혹은 "선분 AB"라고 읽어야 할 것을 "선분 A와 B"로 읽는 경우도 있다.
사칙연산은 수학의 가장 기본적인 것인데 사칙연산을 사용한 수식을 제대로 읽지 못하는 경우가 많다. 조사에 신경써서 다음과 읽도록 한다.
A + B : A에 B를 더한다.
A x B : A에 B를 곱한다.
A - B : A에서 B를 뺀다.
A ÷ B : A를 B로 나눈다.
수식을 그대로 읽지 말고 그것이 의미하는 바를 적절한 방법으로 설명한다. 예를 들어
\[ \lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x)) = \lim_{x\rightarrow a} f(x) + \lim_{x\rightarrow a} g(x) \]
는 두 함수를 더한 후에 극한을 취한 것은 각각의 극한을 취한 뒤에 더한 것과 같다고 말한다..
수학 용어를 적절히 활용한다. 좌변, 우변, 치환, 대입, 대체, 충분조건, 필요충분조건, 대우, 부분집합, 분모, 분자, 피적분함수, 소거, 약분, 공통인수, 소인수 등. 특히 키워드를 빼먹지 않도록 유의한다. 예를 들어 풀이에 근과 계수의 관계를 사용했을 때는 반드시 이를 언급한다. 필요이상으로 수학용어를 남발하는 것도 좋지 않다. 예를 들어 두 삼각형의 합동을 말할 때 대응되는 변과 각이 무엇인지도 말하지 않고 그냥 SAS 합동이라고 하는 것은 좋지 않다. 실은 대응되는 변과 각을 말하면 SAS, ASA 등을 말할 필요가 별로 없다.
비슷한 두 문제를 설명할 때는 두 문제의 같은 점과 다른 점을 설명한다. 두 번째 문제의 풀이에 첫 번째 문제의 풀이와 유사한 부분이 있으면 그 부분은 간략하게 처리하고 넘어간다. 비슷한 3 개 이상의 문제의 경우에도 마찬가지다.
화면은 중요한 부분을 상세하게 기술하고 덜 중요한 부분은 간략하게 넘어간다. 발표 시에는 일정한 속도와 음성으로 진행하지 않는다. 중요한 부분에서는 천천히, 또박또박 말한다. 바로 이 부분에서 가장 많은 학생이 잘못을 저지른다. 발표의 속도를 못 맞추는 것은 "아버지 가방에 들어가신다."로 읽는 것과 비슷한 면이 있다.
증명, 또는 설명에서 모든 것을 하나도 빠짐없이 다 말할 수는 없으며 그럴 필요도 없다. 적절한 생략은 필수이며 또한 바람직하기도 하다. 그런데 생략하지 않아야 할 것을 생략하고, 생략해야 할 것을 생략하지 않는 잘못을 흔히 범한다.
대명사를 너무 많이 쓰지 않는다. 대명사는 문맥상 그 대명사가 의미하는 바를 쉽게 알 수 있을 때 자연스런 표현을 위하여 사용하는 것이다. 대명사를 너무 많이 사용하면 내용의 정확성은 떨어지기 마련이다. 수학은 정확한 의미전달이 대단히 중요하므로 수학을 말할 때는 다른 주제를 말할 때보다 상대적으로 대명사의 사용을 줄여야 한다.
수학문제는 직관과 논리를 사용해서 풀고 답한다. 답을 구하는 과정에는 직관이 중요하고 답안을 작성하는 과정에는 논리가 중요하다. 답을 구하는 과정에서 사용된 아이디어를 잘 설명하는 것이 발표자의 능력이다.
정답만 제시할 뿐만 아니라 흔한 오답도 제시하고 어디가 잘못 되었는지 설명한다.
수식으로 쓰면 될 것을 자연 언어로 바꾸어 표현하지 않는다. 자연 언어의 주 역할은 수식을 연결하는 것이라고 보면 된다. 예를 들어 "A = B + C"라고 쓰면 될 것을 "A는 B와 C의 합이다."로 쓰는 것은 좋지 않다. 더 나쁜(실은 틀린) 표현으로는 "A에는 B와 C가 있다.", "A는 B와 C에 의하여 값이 주어진다." 등이 있다. 단, 문제 풀이의 초기에 해법의 아이디어를 설명할 때는 예외적으로 자연 언어를 많이 사용해도 좋다.
특수한 경우에 대하여 답을 제시하고 설명한 다음에는 일반적인 경우에는 어떻게 해야 하는지를 정리, 요약 설명한다.
“... 이다” 라고 말하면(쓰면) 될 것을 “... 임을 알 수 있다”, 혹은 “...라고 할 수 있다”고 말하는(쓰는) 것은 좋지 않다.
“... 임을 알 수 있다”는 표현은 조금 생각하면 알 수 있거나 혹은 단순 계산만으로 확인할 수 있는 경우에 사용한다.
"...라고 할 수 있다"는 표현은, 나와 다른 관점에서 볼 수도 있겠으나 나의 방식으로 해석하는 것이 현재 상황에서 가장 타당하다고 생각할 때 사용한다.
예를 들어 기함수의 역함수는 기함수라는 말을 한 후 f(x)가 어떤 기함수의 역함수임을 보였다면, "f(x)는 기함수이다"라고 해야 한다. "f(x)는 기함수임을 알 수 있다"고 말하는 것은 허용된다. 그러나 "f(x)는 기함수라고 할 수 있다"라고 말한다면 이건 잘못된 것이다.
“... 임을 알 수 있다”는 표현은 아주 쉬운 사실들에 대해서 여러 번 연이어 사용하는 것은 좋지 않다. 반면에 “.. 이다”는 표현은 계속 사용해도 전혀 거북하지 않다.
수학의 증명에서는 수식이(혹은 논리식이) 주인공이며 자연 언어는 수식들을 연결해 주는 보조적인 역할을 한다. 수학의 증명을 쓸 때 사용하는 표현 몇 개를 알아 두면 좋다.
A를 ...로 둔다. ...로 놓는다. ...라 하자. (예: Let A be ...)
...라 가정한다. (예: Suppose that..., Assume that...)
...를 보이겠다. ...를 보이기 위하여..(예: To show that...)
실은 수학의 증명에서 가장 기본이 되는 표현은 "그러므로 ...이다."이다. 그러나 수식을 쓸 때마다 이렇게 일일히 써 줄 필요는 없다. 아무 말 없이 수식만 쓰면 그것은 바로 직전의 수식(들)로부터 이 수식을 얻었다는 뜻으로 해석되기 때문이다.
"그러므로 ...이다."는 표현을 쓸 때 그러므로가 바로 직전의 수식이거나 대단히 당연한 사실을 전제로 지칭하는 것이 아니라면 미리 그 전제들에 ①, ② 등의 번호를 붙여 놓은 다음에 "앞의 ①, ②에 의하여 ... 이다."와 같이 한다.
"..에서"라는 표현을 쓸 때 주의한다. 이 "에서"라는 단어는 국어사전을 찾아 보면 아래와 같은 여러 개의 서로 다른 의미가 있다.
도서관에서 만나자.
서울에서 부산까지 거리가 얼마냐?
그는 회사에서 월급을 받는다.
고마운 마음에서 드리는 말씀입니다.
이에서 어찌 더 나쁠 수 있겠는가?
이번에 정부에서 실시한 조사 결과에 의하면...
수학에서는 흔히 (가)라는 전제를 사용하여 (나)라는 결론을 얻을 때 "(가)에서 (나)를 얻는다."는 표현을 쓰는데 이것이 위의 1. ~ 5. 중 어떤 것에 해당되는가? 2와 4가 가장 적합한 듯 한데 딱 들어맞지는 않는다고 본다. "에서"는 될 수 있는 한 쓰지 말고 그 대신 "에 의하여" 혹은 "로부터"를 사용하는 것이 좋다.
"..에서"를 "using the hypothesis ..." 의미로 사용하지 않는 것이 좋다고 하였는데 또 다른 의미인 "at ..."로 사용하는 것은 허용된다. 예를 들어
\[ x + y \ge 2\sqrt{xy} \qquad (*) \]
\((*)\)에서 \(y\)를 \(\frac{1}{x}\)로 치환하여 \( x + \frac{1}{x} \ge 2\)를 얻는다.
는 나무랄 데 없는 표현이다.
"위에서 보듯이..."와 같은 표현은 좋지 않다. 왜냐하면 "위"라는 것의 범위가 넓어 어떤 것을 정확히 지칭하는지 모호할 때가 많기 때문이다. "위의 (1)과 (2)에서 보듯이.."는 괜찮다. 이와 비슷한, 좋지 않은 표현으로 "가정에 의해서.."가 있다. 가정이 딱 하나만 있다면 괜찮겠지만 여러 개의 가정이 있는 경우에는 그들 중에 어떤 가정(들)을 사용하는지를 적시하는 것이 필요하기 때문이다.
반례를 들 때는 반례가 되는 개체(individual)을 적시해야 한다. 예를 들어 틀린 명제인 "모든 실수 \( x \)에 대해서 \( x > 1 \)이면 \( x^2 > 2 \)이다"의 반례는 \( x=1.4 \), \( x=1.1 \) 등이다. 이걸 반례를 든답시고 "\( x > 1 \)이지만 \( x < \sqrt 2 \)인 경우에는 준 명제가 성립하지 않는다."는 등의 얘기를 할 필요가 없다. 이것은 반례를 characterize하는 것이다. 즉, 반례가 되기 위한 필요충분조건을 말하는 것인데, 이럴 필요가 없으며 또한 바람직하지도 않다. 왜냐하면 (1) 질문자가 원하는 대답이 아니므로 질문자가 대답을 이해하는 데 방해가 된다. (2) 때로는 반례를 찾기는 쉬워도 characterize하기는 쉽지 않다. 간단히 반례만 찾으면 될 것을 반례을 위한 (질문자가 요구하지도 않은) 필요충분조건을 찾으려고 시간과 노력을 낭비할 필요가 없다.
발표할 때 "다음 식에 의하여.."등의 표현은 좋지 않다. 책에서는 "다음 식"은 좋은 표현이다. 왜냐하면 실제로 독자는 "다음 식"을 언급한 부분을 읽은 다음에 그 식을 읽게 되기 때문이다. 그런데 발표할 때는 이 식이 이미 화면에 떠 있는, 혹은 칠판에 써 있는 경우가 대부분이다. 이럴 때는 "다음 식"이 아니라 "이 식"을 써야 한다. 발표할 때 "다음 식"이라는 표현을 사용하는 것은 그 식이 다음 페이지에 나올 때에 한한다.
\(a'\)은 \(a\)-프라임(prime)이라고 읽어야 한다. \(a\)-다시(dash)가 아니다. 후자는 계좌번호 등에 사용되는 것(–)이다.
(수학을 쓰기) 수학에서 문제풀이의 사고과정을 설명할 때는 식과 그림이 주가 되고 글이 부가 되어야 한다. 많은 학생들의 답안에서 식과 그림만 있고 글이 전혀 없거나, 혹은 반대로 식과 그림을 사용하면 간단할 것을 말로 길게 늘여 쓰는 것을 보게 되는데, 이러한 양 극단은 둘 다 좋지 않다.
(과제 제출) 2쪽 이상의 문서는 반드시 쪽번호를 붙인다. 첫 쪽 맨 앞에 제출자의 학번과 이름을 밝힌다. 표지 페이지를 별도로 가질 필요는 없다. 화면 캡쳐한 것을 사용할 때는 윈도 전체를 캡쳐하지 말고 필요한 부분(영역)만 캡쳐하여 사용한다. 풀이와 답으로 구성된 과제일 경우 답이 눈에 잘 뜨이도록 한다. A4 사이즈의 용지만을 사용한다. 2쪽 이상의 과제는 반드시 스테이플러로 묶어서 제출한다.
(답안 작성 #1) 발표를 위한 자료와 시험지에 쓰는 답안은 달라야 한다. 발표자료는 발표할 때 말로 보충할 것이므로 많은 부분이 생략될 수 있지만, 답안은 그 안에 더 많은 정보가 들어 있어야 한다. 모든 것을 다 답안에 적으려면 공간이 부족할 것이므로 어떤 부분을 생략해야 할지를 잘 판단해야 한다. 특히 계산과정을 지워서 채점자가 암산으로 따라갈 수 없으면 절대로 안된다.
(답안 작성 #2) 계산하여 답을 구하는 문제인 경우, 최종적으로 얻은 답은 맨 뒤에 써야 한다. (맨 위에 쓰거나 엉뚱한 곳에 쓰는 학생이 있다.) 중간 단계에서 얻은 답은 그 자리에 써야 한다. (맨 아래에 몰아 쓰거나 엉뚱한 곳에 쓰는 학생이 있다.) 그리고 답에 박스를 둘러 쉽게 알아볼 수 있도록 해야 한다. 답이 엉뚱한 위치에 있으면 채점자가 답을 찾지 못하게 될 수도 있고, 찾아냈다고 해도 감점을 할 것이다. 답을 여러 개 구하는 문제, 예를 들어 "\( a \)와 \( b \)를 구하고 \( f(x) > 0 \)를 증명하라"는 문제라면 \( a=* \), \( b=* \)의 답에 각각 박스를 두르고 그 다음에 증명을 써야 한다.
(답안 작성 #3) 답안 작성을 위하여 주어진 공간을 벗어나지 않고 그 안에서 답안을 쓰는 능력도 평가 대상이다. 답안(풀이과정 + 답)은 반드시 주어진 영역 내에 써야 한다. 여백에 간단한 계산을 하는 것은 허용된다. 단, 채점자는 여백을 읽지 않을 것이고, 여백에 쓴 내용은 채점 대상이 아니다.
(답안 작성 #4) 계산하여 얻은 답을 쓸 때는 최대한 간략하고 알아보기 쉽게 써야 한다. 예를 들어 \(\frac{36}{48}\)을 얻었다면 약분하여 \( \frac{3}{4} \) 으로 써야 한다. \( \frac{5-\sqrt 5}{5 + \sqrt 5} \)를 얻었다면 분모를 유리화 하여 \( \frac{3- \sqrt 5}{2} \)로 써야 한다.