좌표벡터와 표상행렬

정의 3.59. 벡터공간 $V$의 순서기저 $B := (v_1,\ldots,v_n)$과 벡터 $v\in V$에 대해서 $v = a_1v_1 + \cdots + a_nv_n$일 때 열벡터 $(a_1,\ldots,a_n)^T$를 $M_B(v)$로 나타내고 이를 $v$의 좌표벡터라고 한다. $\quad\dashv$

$V$가 $\rR^n$의 부분(혹은 전체)공간일 때는 $B$의 원소 $v_i$들을 열벡터로 가지는 행렬을 $A_B$라고 할 때 모든 $v\in V$에 대하여 $M_{B}(v) = A_B^{-1}v$가 된다. ($B$가 기저이므로 $A_B$의 역행렬은 반드시 존재한다.)

정의 3.63. $L:V\to W$이 선형사상이고 $B_1:=\{v_1,\ldots,v_n\}$은 $V$의 순서기저 $B_2 := \{w_1,\ldots,w_m \}$는 $W$의 순서기저일 때 표상행렬 $M^{B_1}_{B_2}(L) \in \rR^{m\times n}$은 다음을 만족하는 행렬이다. 이 행렬을 $L$의 표상행렬이라고 한다. \[ (\forall v\in V)\Bigl( M_{B_2}(L(v)) = M^{B_1}_{B_2}(L) M_{B_1}(v)\Bigr) \] 이 표상행렬의 $ij$-항을 $a_{ij}$로 나타내면 모든 $(i,j)\in\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,n\}$에 대하여 다음의 식이 성립한다. \[ L(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i \quad\dashv \]

고찰 3.66. $L:\rR^n \to \rR^n$일 때는 정의역의 순서기저를 $B_1$, 공역의 순서기저를 $B_2$라 하면 $M^{B_1}_{B_2}(L) = A_{B_2}^{-1} A_L A_{B_1}$로 얻을 수 있다. 단, 여기서 $A_L$은 표준기저에서 $L$을 표상하는 행렬이다.