다음과 같이 선형사상 $L : \rR^2 \to \rR^2$, 행렬 $A_L \in \rR^{2\times 2}$과 벡터 $v_1,v_2,w_1,w_2\in\rR^2$를 정의한다. \begin{align*} & L\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y \\ -x+2y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A_L \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\[1.5ex] & v_1 = (1,1)^T, v_2 = (-1,1)^T, w_1 = (1,2)^T, w_2 = (2,1)^T \end{align*}
순서기저 3개를 $B_{1} = ( v_{1}, v_{2} )$, $B_{2} = ( w_{1}, w_{2} )$, $B_3 = (\vec e_1, \vec e_2)$로 두었을 때
(1) 행렬 $M^{B_2}_{B_1}(L)$을 구하고 \begin{equation}\label{eq:1} (\forall v\in\rR^2)\Bigl(M_{B_1}(L(v)) = M^{B_2}_{B_1}(L) M_{B_2}(v)\Bigr) \tag{$*$} \end{equation} 가 됨을, 즉 $v = (x,y)^T$로 놓고 $M_{B_2}(v)$와 $M_{B_1}(L(v))$를 구하여 위의 등식이 성립함을 확인하여라.
풀이 (1). \begin{align*} & M_{B_2}(v) = A_w^{-1} v = \begin{pmatrix} -1/3 & 2/3 \\ 2/3 & -1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -x + 2y \\ 2x - y \end{pmatrix} \\[1.5ex] & M_{B_1}(L(v)) = A_v^{-1} L(v) = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x+y \\ -x + 2y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3y \\ -2x + y \end{pmatrix} \\[1.5ex] & M^{B_2}_{B_1}(L) = A_v^{-1}A_L A_w = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{align*} 이제 \eqref{eq:1}이 성립함은 쉽게 확인된다. $\quad\Box$
(2) $L:\rR^2 \to \rR^2$를 $L^2(v) := L(L(v))$로 정의한다. $M^{B_3}_{B_3}(L)$과 $M^{B_3}_{B_3}(L^2)$을 구하여라. 그리고 $M^{B_1}_{B_1}(L)$, $M^{B_1}_{B_1}(L^2)$, $M^{B_2}_{B_2}(L)$, $M^{B_2}_{B_2}(L^2)$을 구하여라.
풀이 (2). 정의에 의하여 $M^{B_3}_{B_3}(L) = A_L = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$이다. \begin{align*} L^2((x,y)^T) &= L((x+y, -x+2y)^T) \\[1.5ex] &= ((x+y) + (-x+2y), -(x+y) + 2(-x+2y))^T = 3(y, -x+y)^T \\[1.5ex] \therefore\; M^{B_3}_{B_3}(L^2) &= A_{L^2} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \end{align*} $M^{B_2}_{B_2}(L)$는 $(\forall v\in\rR^2)\Bigl(M_{B_2}(L(v)) = M^{B_2}_{B_2}(L) M_{B_2}(v)\Bigr)$로부터 얻을 수 있다. 그러므로 \begin{align*} A_w^{-1} A_L v &= M^{B_2}_{B_2}(L) A_w^{-1} v,\quad(\forall v) \\[1.5ex] \therefore\; M^{B_2}_{B_2}(L) &= A_w^{-1} A_L A_w \tag{$**$} \\[1.5ex] &= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align*} 같은 방법으로 다음과 같이 계산할 수 있다. \begin{align*} M^{B_2}_{B_2}(L^2) &= A_w^{-1} A_{L^2} A_w \\[1.5ex] &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_1}_{B_1}(L) &= A_v^{-1} A_L A_v \\[1.5ex] &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_1}_{B_1}(L^2) &= A_v^{-1} A_{L^2} A_v \\[1.5ex] &= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad\Box \end{align*}
$(**)$는 기저가 바뀔 때 표상행렬을 얻는 공식으로 암기해 둘 가치가 있다.
$B$가 $B_1, B_2, B_3$ 중 어느 것일 때에도 $M_B^B(L)^2 = M_B^B(L^2)$가 성립함을 알 수 있다.
(3) $L_1 = L$로 두고 $L_2\bigl( (x,y)^T \bigr) = (x-2y, 2x + y)^T$, $(L_1 \circ L_2)(v) = L_1(L_2(v))$로 정의한다. 이때 $M^{B_1}_{B_3} (L_1 \circ L_2)$, $M^{B_1}_{B_2} (L_2)$, $M^{B_2}_{B_3} (L_1)$을 각각 구하여라.
풀이 (3). \begin{align*} (L_1 \circ L_2)((x,y)^T) &= L_1((x-2y, 2x+y)^T) \\[1.5ex] &= ((x-2y)+(2x+y), -(x-2y) + 2(2x+y))^T \\[1.5ex] &= (3x-y, 3x+4y)^T \\[1.5ex] \therefore\; M^{B_1}_{B_3} (L_1 \circ L_2) &= I_2^{-1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 7 & 1 \end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_1}_{B_2} (L_2) &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -5 & -5 \end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_2}_{B_3} (L_1) &= I_2^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \quad\Box \end{align*}
$M^{B_3}_{B_3}(L_1) M^{B_3}_{B_3}(L_2) = M^{B_3}_{B_3}(L_1\circ L_2)$와 $M^{B_2}_{B_3} (L_1) M^{B_1}_{B_2} (L_2) = M^{B_1}_{B_3} (L_1 \circ L_2)$가 성립함을 알 수 있다.
(4) $M^{B_1}_{B_2}(id)$, $M^{B_2}_{B_1}(id)$, $M^{B_1}_{B_2}(L)$, $M^{B_2}_{B_1}(L)$, $M^{B_3}_{B_3}(L^{-1})$, $M^{B_2}_{B_1}(L^{-1})$, $M^{B_1}_{B_2}(L^{-1})$을 각각 구하여라.
풀이 (4). $I = M^{B_3}_{B_3}(id) = M^{B_3}_{B_3}(L\circ L^{-1}) = M^{B_3}_{B_3}(L) M^{B_3}_{B_3}(L^{-1})$이므로 $M^{B_3}_{B_3}(L^{-1}) = M^{B_3}_{B_3}(L)^{-1}$이다. \begin{align*} M^{B_1}_{B_2}(id) &= A_w^{-1} I_2 A_v = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -3\end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_2}_{B_1}(id) &= A_v^{-1} I_2 A_w = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_1}_{B_2}(L) &= A_w^{-1} A_L A_v = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_2}_{B_1}(L) &= A_v^{-1} A_L A_w = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{3}{2}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_3}_{B_3}(L^{-1}) &= M^{B_3}_{B_3}(L)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_2}_{B_1}(L^{-1}) &= A_v^{-1} A_{L^{-1}} A_w = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \\[1.5ex] M^{B_1}_{B_2}(L^{-1}) &= A_w^{-1} A_{L^{-1}} A_v = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2\end{pmatrix} \quad\Box \end{align*}
다음의 등식들이 성립함을 관찰할 수 있다. \[ I = M^{B_1}_{B_2}(id) M^{B_2}_{B_1}(id) = M^{B_1}_{B_2}(L) M^{B_2}_{B_1}(L^{-1}) = M^{B_2}_{B_1}(L) M^{B_1}_{B_2}(L^{-1}) \]
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