행렬의 표기법

$ \def\defeql{\stackrel{\mathrm{def}}{=}} \def\rR{\mathbb R} \def\iff{\leftrightarrow} \newcommand{\nN}{\mathbb N} \newcommand{\sse}{\textsl{SSE}} \newcommand{\sxx}{S_{XX}} \newcommand{\sxy}{S_{XY}} $

행렬의 표기법

이 웹페이지 내의 모든 행렬은 $n\times n$ 정방행렬이다. $(n \in \nN)$

$A \in \rR^{n\times n}$일 때 $A$의 $i$번째 행벡터는 $A_i$로 나타내고 $j$번째 열벡터는 $A^j$로 나타낸다.

$A$에서 $A_i$와 $A_j$를 서로 바꾸어 얻은 행렬을 $A[A_i \iff A_j]$로 나타낸다. $A=I_n$일 때는 이 행렬을 $P_{ij}$로 나타낸다. (P는 permutation을 뜻한다.) $A$로부터 $A[A_i \iff A_j]$를 얻는 작업을 $[A_i \iff A_j]$로 나타내며 이를 타입 1 기본행 작업이라고 한다.
$n=5$이고 $(i,j)=(2,4), (1,2), (3,5)$인 경우의 $P_{ij}$는 다음과 같다. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
$A$에서 $A_i$를 $k$배 하여 얻은 행렬을 $A[A_i \to k A_i]$로 나타낸다. 단, 이때 $k\ne 0$이다. $A=I_n$일 때는 이 행렬을 $I_{n,i}(k)$로 나타낸다. $A$로부터 $A[A_i \to k A_i]$를 얻는 작업을 $[A_i \to k A_i]$로 나타내며 이를 타입 2 기본행 작업이라고 한다.
$I_{5,2}(2)$, $I_{5,3}(0.5)$와 $I_{5,5}(-\sqrt 2)$를 아래에 보였다. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\sqrt 2 \end{pmatrix} \]
$A$에서 $A_j$를 $k$배 한 것을 $A_i$에 더하여 얻은 행렬을 $A[A_i \to A_i + kA_j]$로 나타낸다. $A = I_n$일 때는 이 행렬을 $E_{ij}(k)$로 나타낸다. $A$로부터 $A[A_i \to A_i + kA_j]$를 얻는 작업을 $[A_i \to A_i + kA_j]$로 나타내며 이를 타입 3 기본행 작업이라고 한다.
$E_{31}(2)$, $E_{41}(-1.5)$와 $E_{53}(0.7)$을 아래에 보였다. \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1.5 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0.7 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
$P_{ij}$, $I_{n,k}$, $E_{ij}(k)$를 기본행작업 행렬, 또는 기본행렬(elementary matrix)이라고 부른다. 정방행렬은 기본행렬들의 곱으로 표시된다는 것은 그 행렬이 가역행렬일 필요충분조건디다.

아래의 등식들이 성립한다. \begin{align*} & A[A_i \iff A_j] = P_{ij} A \\[1.5ex] & A[A_i \to k A_i] = I_{n,i}(k) A \\[1.5ex] & A[A_i \to A_i + kA_j] = E_{ij}(k) A \end{align*}

위의 등식들은 행렬곱을 보는 3번째 관점, 즉 $C = AB$일 때 $C_i$는 $A_i$의 원소들을 계수로 하는 $B$의 행벡터들의 선형조합이라는 것을 이해하고 있으면 잘 파악될 것이다. 즉, $C_i$는 $A$의 행들 중에 $A_i$를 제외한 나머지 $n-1$개의 행과는 전혀 관련이 없다.

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