점의 회전 : 점 $(x,y)$를 $\theta$만큼 원점을 중심으로 시계반대방향으로 회전시켜서 얻은 점의 좌표를 $(x',y')$을 구해 보자. 함수 $L((x,y)^T) = (x',y'^T)$은 선형사상이므로 정의역과 공역의 순서기저를 잡는 것이 첫 번째로 할 일이다. 기저는 둘 다 표준기저 $(\vec e_1, \vec e_2)$를 선택하기로 한다. 그러면 \begin{align*} L(\vec e_1) &= (\cos \theta, \sin \theta)^T \\[1.5ex] L(\vec e_2) &= (-\sin \theta, \cos \theta)^T \\[1.5ex] \therefore\; M^e_e(L) &= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \\[1.5ex] L\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x\cos \theta - y\sin \theta \\ x\sin \theta + y\cos \theta \end{pmatrix} \end{align*}
위에서 얻은 회전사상 $L_\theta$에 대한 표상행렬 \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} 를 이용하여 삼각함수의 덧셈정리를 얻을 수 있다.
점 $(x,y)^T$를 $\theta_1 + \theta_2$만큼 회전시켜 $(x'', y'')^T$를 얻었다면 다음의 식이 성립한다. \begin{align*} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos(\theta_1+\theta_2) & -\sin(\theta_1+\theta_2) \\ \sin(\theta_1+\theta_2) & \cos(\theta_1+\theta_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{$*1$} \end{align*} 이 과정을 다음과 같이 두 단계로 나누어 볼 수 있다: 먼저 $(x,y)^T$를 $\theta_1$만큼 회전시켜서 $L_{\theta_1}((x,y)^T) = (x', y')^T$를 얻고, 이를 다시 $\theta_2$만큼 회전시켜 $L_{\theta_2}((x', y')^T) = (x'', y'')^T$를 얻는다. 그러면 \begin{align*} \begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\\[1.5ex] &= \begin{pmatrix} \cos \theta_2 & -\sin \theta_2 \\ \sin \theta_2 & \cos \theta_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\[1.5ex] &= \begin{pmatrix} \cos\theta_2\cos\theta_1 - \sin\theta_2\sin\theta_1 & -\cos\theta_2\sin\theta_1 - \sin\theta_2\cos\theta_1 \\ \sin\theta_2\cos\theta_1 + \cos\theta_2\sin\theta_1 & -\sin\theta_2\sin\theta_1 + \cos\theta_2\cos\theta_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{$*2$} \end{align*} $(*1)$에 나타난 행렬의 1열벡터와 $(*2)$에 나타난 행렬의 1열벡터를 비교하면 다음과 같이 삼각함수의 덧셈정리를 얻게 된다. \begin{align*} \cos(\theta_1 + \theta_2) &= \cos\theta_1\cos\theta_2 - \sin\theta_1\sin\theta_2 \\[1.5ex] \sin(\theta_1 + \theta_2) &= \sin\theta_1\cos\theta_2 + \cos\theta_1\sin\theta_2 \end{align*}
좌표축의 회전 : 점 $P$의 좌표를 $(x,y)$라 하자. 좌표축을 시계반대방향으로 $\theta$만큼 회전시켰다면 새로운 좌표계에서 점 $P$의 좌표 $(x', y')$은 어떻게 되겠는가?
이 문제는 두 순서기저 $B_1 = (\vec e_1, \vec e_2 )$, $B_2 = \Bigl((\cos\theta, \sin\theta)^T, (-\sin\theta, \cos\theta)^T\Bigr)$ 환경에서 항등함수 $id : \rR^2 \to \rR^2$의 표상행렬 $ M^{B_1}_{B_2} (id)$를 구하는 문제이다. 다음의 공식을 써서 구할 수 있다. \[ M^{B_1}_{B_2}(L) = A_{B_2}^{-1} A_L A_{B_1} \] 여기서 $A_L = A_{id} = A_{B_1} = I_2$이고 $A_{B_2} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$이다.
따라서 $A_{B_2}^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$이고 \[ M^{B_1}_{B_2} (id) = A_{B_2}^{-1} I_2 I_2 = A_{B_2}^{-1} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]로 얻어진다. 결론적으로 \[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\theta + y\sin\theta \\ -x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix} \]이다.
이 결과를 $\theta = \pi/4$이고 $(x,y) = (1,1), (0,1), (1,0)$ 등인 경우에 대하여 확인해 보라.
원래의 좌표계에서는 곡선의 방정식이 $x$, $y$의 식으로 주어져 있을 것이므로 이를 회전시킨 좌표계에서 성립하는 $x'$과 $y'$의 관계식으로 변환하려면 \[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x'\cos\theta - y'\sin\theta \\ x'\sin\theta + y'\cos\theta \end{pmatrix} \] 의 치환을 쓰면 된다.
두 변수 $x$, $y$에 대한 일반적인 2차식은 다음과 같다. \[ Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 \] 좌표축의 회전을 사용하여 $x'y'$-항의 계수를 0으로 만들고자 한다면 회전각 $\theta$는 다음의 식이 성립하도록 취하면 되는 것이 알려져 있다. \[ \cot (2\theta) = \frac{A-C}{B} \]
새로운 좌표축에서 도형이 타원인지, 쌍곡선인지, 포물선인지는 다음과 같이 판별식을 써서 알 수 있다.
(1) $8x^2−12xy+17y^2=20$
(2) $x^2+12xy-4y^2=30$
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