(풀이). 상호배반이란 $P(A\cap B) = 0$를 뜻한다. $A$와 $B$가 종속임을 보이기 위하여는 $P(A\cap B) \ne P(A)P(B)$를 보이면 된다. 그런데 $P(A)\ne 0\ne P(B)$로부터 $P(A)P(B) \ne 0 = P(A\cap B)$이다. $\;\checkmark$
(풀이). 모든 집합 $A$, $B$에 대하여 $(A\cap B) \cup (A^c \cap B) = B$와 $(A\cap B) \cap (A^c \cap B) = \varnothing$이므로 $P(A\cap B) + P(A^c\cap B) = P(B)$가 성립함을 이용한다. \begin{equation*} P(A\mybar B) + P(A^c\mybar B) = \frac{P(A\cap B) + P(A^c \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B)}{P(B)} = 1 \quad\checkmark \end{equation*}
(풀이). 우변은 조건부 확률의 정의에 의하여 $\frac{P\bigl((A\cap B) \cap B\bigr)}{P(B)} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$가 되며 이것은 바로 좌변의 정의이다. $\;\checkmark$
(풀이). 이 명제는 직관적으로 당연하지만 이것을 수식을 사용하여 정확하게 증명하는 것이 이 문제의 포인트이다.
먼저 $B\cap A^c \subseteq A^c$이므로 $P(B\cap A^c) \le P(A^c) = 1 - P(A) = 0$임을 알 수 있다. 그러므로 $P(B) = P(B\cap A) + P(B\cap A^c) = P(B\cap A) + 0 = P(B\cap A)$이다.
이제 $P(B\mybar A) = P(B)$를 보이겠다.
\begin{equation*} \text{좌변} = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} = \frac{P(B\cap A)}{1} = P(B\cap A) = P(B) = \text{우변}\quad\checkmark \end{equation*}(풀이). 위의 문제와 비슷하지만 이번에는 $P(B\mybar A)$를 사용할 수 없다는 점에 유의해야 한다. $P(B) \ne 0$인 경우에는 다음과 같이 진행한다.
\begin{equation*} P(A\mybar B) = \frac{A\cap B}{P(B)} \le \frac{A}{P(B)} = \frac{0}{P(B)} = 0 = P(A)\quad\checkmark \end{equation*}$P(B)=0$인 경우에는 $A$와 $B$가 독립임의 정의로 $P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$를 사용하는 수밖에 없다. 이 정의가 마음에 들지 않는다면 확률이 0인 두 사건의 독립성은 정의되지 않는다고 받아들여야 할 것이다. $P(A\cap B) \le P(B) = 0$이므로 $P(A\cap B) = 0 = 0\times 0 = P(A)\times P(B)\;\;\checkmark$