베르누이 시행을 $n$번 시행하여 $k$번 성공했다면 $p$의 MLE에 의한 추정량은 $\frac{k}{n}$임을 보여라.
(풀이). $n$번 시행해서 $k$번 성공하는 사건을 $E$라 하고 $P(E)$를 모수 $p$의 함수로 나타내면, $c := {n\choose k}$로 두었을 때
\begin{align*} & L(p) = c\cdot p^k(1-p)^{n-k} \\ & \ell(p) = c\cdot\Bigl(k\log p + (n-k)\log(1-p)\Bigr) \\ & \ell'(p) = c\cdot\Bigl(\frac{k}{p} - \frac{n-k}{1-p}\Bigr) = 0 \\ & \frac{k - kp - np + kp}{p(1-p)} = \frac{k - np}{p(1-p)} = 0 \\ & \ell'(p) = 0 \text{ at } p = \frac{k}{n} \\ & \ell''(p) = c\cdot\Bigl( - \frac{k}{p^2} - \frac{n-k}{(1-p)^2}\Bigr) < 0 \tag*{$\dashv$} \end{align*} [홈으로]