$a,b = 0,1,2,\ldots$에 대해서 $F(a,b) := \int_0^1 x^a(1-x)^b dx$로 놓으면 \begin{equation*} F(a,b) = \displaystyle\frac{a!b!}{(a+b+1)!} \end{equation*} 이다.
참고: 베타함수 $B$는 $a>0$, $b>0$에 대해서 $B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx$로 정의되어 있으므로 $a,b = 1,2,\ldots$에 대해서 $F(a,b) = B(a+1, b+1)$이다.
(증명). $b$에 대한 수학적 귀납법을 사용한다.
$b=0$인 경우에는 \begin{equation*} F(a,0) = \int_0^1 x^a dx = [x^{a+1}/(a+1)]_0^1 = \frac{1}{a+1} = \frac{a!0!}{(a+0+1)!} \quad\checkmark \end{equation*} $b\ge 1$인 경우에는 부분적분의 공식을 사용하여 \begin{align*} F(a,b) &= \int_0^1 x^a(1-x)^b dx \\ &= \left[\frac{x^{a+1}}{a+1}(1-x)^b\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{x^{a+1}}{a+1} b(1-x)^{b-1} dx \\ &= 0 + \frac{b}{a+1} F(a+1,b-1) = \frac{b}{a+1} \frac{(a+1)!(b-1)!}{(a+b+1)!}\quad\text{(by induction hypothesis)} \\ &= \frac{a!b!}{(a+b+1)!} \quad\checkmark \end{align*} [홈으로]