\( \def\ksoln{\text{(풀이)}.\;\;} \def\Uprime{U_p} \def\Uprimestar{U_p^*} \def\modp{\equiv_p} \def\rR{\mathbb R} \def\zZ{\mathbb Z} \newcommand{\nN}{\mathbb N} \) #5. 홀수인 소수 $p$와 $a\in\Uprimestar$에 대해서 2차합동방정식 $ax^2 + bx + c\modp 0$가 해를 가질 필요충분조건은 $b^2 - 4ac$가 법 $p$로 0 또는 2차잉여일 것임을 증명하여라.
$\ksoln$ 2차잉여는 $\Uprimestar$의 원소 중에 제곱수를 뜻하는 것으로 하자. 그러므로 일반적으로 미지수 $x$와 $D\in\zZ$에 대하여 $x^2 \modp D$가 해를 가질 필요충분조건은 "$D\modp 0$이거나 또는 $D$가 2차잉여일 것"이다.
$p$가 홀의 소수이므로 $2\in\Uprime$이고 따라서 $2$, $2a$, $4a$, $(2a)^2$은 모두 법 $p$로 역원이 존재한다. 읽기의 편의를 위하여 임의의 식 $E_1$과 $E_2$에 대해서 $E_2^{-1}E_1$ 대신 $\frac{E_1}{E_2}$로 쓰기로 하면 주어진 2차합동방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\begin{align*} ax^2 + bx + c &= ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a} + c \\ &= a\Bigl( x + \frac{b}{2a}\Bigr)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \modp 0v \\ a\Bigl( x + \frac{b}{2a}\Bigr)^2 &\modp \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\ \Bigl( x + \frac{b}{2a}\Bigr)^2 &\modp \frac{b^2 - 4ac}{(2a)^2} \end{align*}마지막의 합동방정식의 해는 우변이 법 $p$로 0, 또는 2차잉여일 때, 그리고 이때만 해를 가진다. 일반적으로 $y^{-2}z$가 0 또는 2차잉여일 필요충분조건은 $z$가 0 또는 2차잉여인 것이므로 이제 원하는 명제는 증명되었다. $\;\checkmark$
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